Espaço e forma (05/06/2021)
A importância do
ensino da Geometria nos anos iniciais
(Pró-letramento)
Os sentidos
atribuídos ao ensino da Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental, de
um modo geral, estão vinculados a aplicação de fórmulas, a desenhos (em preto e
branco) de figuras geométricas e a exploração de teoremas, constituindo-a como
um conjunto de “verdades eternas” sem relações com a cultura dos estudantes.
Talvez tais concepções estejam presentes entre nós pelo fato de a Geometria ter
estado praticamente excluída de nossa trajetória escolar, ou então por ter sido
pouco enfocada – ainda encontramos livros didáticos que exploram esta área
apenas nos capítulos finais, gerando a noção de que é um estudo para “o final
do ano letivo”, pouco relevante para a formação dos estudantes. Cabe assinalar
que a Geometria ensinada nas escolas se sustenta, de um modo geral, na
denominada “Geometria Euclidiana”, produzida pelo matemático grego Euclides (em
300 a.C., aproximadamente), o qual buscava sistematizar o saber geométrico
através da enunciação de definições, postulados e axiomas para a dedução de
teoremas. Este sistema constitui-se, então, no modelo capaz de gerar e
classificar os saberes geométricos, os quais, uma vez “provados”, passam a ser
considerados como “verdadeiros” e inquestionáveis. A Geometria escolar, baseada
no modelo euclidiano, também passa a agregar conhecimentos tidos como
universais e absolutos, como se preexistissem às culturas dos professores e
estudantes. Outra característica marcante no ensino da Geometria, influenciada
também pelo sistema euclidiano, é a linearidade. Os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1997), nesta direção, destacam que a concepção linear ainda
está muito presente nas práticas pedagógicas desta área ao privilegiar o
trabalho centrado na sequência: ponto, reta, linhas, figuras planas e,
posteriormente, os sólidos geométricos. Tal sequência se contrapõe, geralmente,
às experiências vivenciadas pelos estudantes na exploração do espaço em que
vivem. Desde cedo, as crianças manipulam muitos objetos geométricos (como
bolas, caixas, latas) e, posteriormente, centram sua atenção às figuras
geométricas planas, vértices e arestas que os compõem, mostrando o quanto a
sequência estipulada pela escola caminha na direção oposta à da vida. Buscando
justamente romper com as marcas da linearidade e aridez que ainda caracterizam
muitas práticas pedagógicas na área da Educação Matemática, principalmente na
Geometria, enfatizamos a relevância de uma educação geométrica capaz de
auxiliar nossos estudantes no entendimento do ambiente que os cerca, aguçando
sua percepção para examinar e organizar o próprio espaço que habitam. Como
enfatiza Fonseca et al. (2001), antes de frequentarem a escola, os estudantes
já exploram o espaço e detêm um conhecimento sobre o mesmo – através de suas
brincadeiras e da própria construção de brinquedos, de passeios realizados e
também quando auxiliam seus familiares em alguma atividade de trabalho –
cabendo a você, professor ou professora, ampliar e sistematizar estes saberes
para que “a criança melhore sua percepção espacial, visual e tátil,
identificando as características geométricas desse espaço, apreendendo as
relações espaciais entre objetos nesse espaço” (IBIDEM, p. 47). Você, professor
ou professora, poderia então se questionar: Por que ensinar Geometria nos anos iniciais
do Ensino Fundamental? Qual é a relevância de uma educação geométrica? Para
sinalizar algumas respostas, no sentido de aprofundarmos uma discussão e
reflexão sobre nossas próprias práticas pedagógicas, acompanhamos Fonseca et
al. (2001) quando problematizam tais questões. Para as autoras, além da
dimensão utilitária como a resolução de problemas da vida cotidiana, o estudo
da Geometria se torna importante também como meio de facilitar as percepções
espaciais dos estudantes, contribuindo para uma melhor apreciação das
construções e dos trabalhos artísticos, tanto dos seres humanos quanto da
natureza. Finalizamos destacando a relevância de proporcionarmos práticas
pedagógicas centradas no estudo e na exploração do ambiente que nos cerca,
fazendo uso, então, de conhecimentos geométricos. Para isto, além de enfocarmos
os saberes presentes nos livros didáticos, poderemos enfatizar, analisar e
problematizar aqueles gerados pelos próprios estudantes e seus familiares nas
diferentes práticas sociais que produzem e que envolvem noções geométricas.
Desta forma, estaremos inserindo na escola, não só outros saberes matemáticos
que enriquecem nossas práticas pedagógicas, mas, principalmente, elementos da
cultura e da vida de nossos estudantes.
Geometria na escola
(Extraído de
Toledo, M., Toledo, M. Didática de matemática: como dois e
dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997, pp. 226 - 227)
Desde a década de
1940, Jean Piaget desenvolveu pesquisas a respeito da interação da criança com
a realidade que a cerca. Baseia-se nessas pesquisas a maioria dos conhecimentos
que temos sobre como a criança constrói as noções de espaço e de figura
geométrica, bem como suas propriedades e relações.
Segundo Piaget, as
primeiras propriedades que a criança observa e consegue compreender são aquelas
de natureza topológica, como dentro, fora, ao lado de,
vizinho de, etc.
Por volta dos 5 ou
6 anos, a criança passa a observar as propriedades de natureza projetiva,
como o que vem antes ou depois, o primeiro, o segundo ... o último, ao
lado de e, mais tarde, aos 7 anos, aproximadamente, o que está
entre, à direita ou à esquerda.
Ela não só
reconhece a ordem em que se apresentam os objetos observados como também as
formas dos objetos são agora mais definidas para ela (por exemplo, já se
preocupa em representar como retas as linhas que são retas no objeto mostrado).
Essa etapa do seu
desenvolvimento corresponde à fase em que a criança está saindo do egocentrismo
e já é capaz de localizar um objeto em relação a outro, e não apenas em relação
a si própria.
Somente a partir
dos 9 ou 10 anos ela começa a se interessar pelas dimensões dos objetos, ou
seja, pelas propriedades de natureza métrica, tais como comprimento
dos lados, abertura dos ângulos de um polígono, etc.
Com base nessas
pesquisas e fundamentada na ideia de currículo em espiral de Bruner, a proposta
curricular da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (agora reforçada
pelos Parâmetros Curriculares Nacionais) apresenta uma sequência de trabalho
que divide o curso de geometria no Ensino Fundamental em três períodos:
· Familiarização
com as figuras geométricas (planas e não planas);
· Descoberta de
propriedades;
· Estabelecimento
de relações (entre figuras e entre propriedades).
Quanto à preocupação sobre o que
priorizar no trabalho inicial, lembremo-nos de que a criança já nasce em
contato com o espaço e com as formas geométricas nele presentes. Assim, a
exploração dessa realidade será nosso material didático – a sala de brincar (suas
paredes, portas e janelas), os objetos que se encontram nela (“O que está em
cima da mesa?”, “E atrás daquela porta?”, “E dentro do armário?”, bem como as
primeiras noções de localização espacial (“O escorregador fica perto da minha
cantina”, “Minha carteira fica longe da mesa da professora”, “Minha casa fica
ao lado da padaria”).
Atividade 1
(Pró-letramento)
A figura abaixo
ilustra a organização de uma possível sala de aula vista de cima:
Na figura, queremos
localizar onde sentam alguns alunos, dispondo das seguintes informações:
João é o que senta
mais longe da professora.
Ana senta em frente
a mesa da professora.
André e Felipe
sentam-se lado a lado.
Carlos senta-se
longe de João e ao lado da janela.
Maria senta-se
próxima à porta;
Joana senta-se à
frente de João e bem próxima de Felipe;
Júlia senta-se
atrás do Carlos;
Rosa e Pedro
sentam-se em frente ao quadro, sendo que Rosa se senta mais perto da professora
do que Pedro;
Sabendo que Camila
se senta ao lado de João, onde se senta Fabiane?
Espaço e Forma segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
Estudos sobre a
construção do espaço pela criança destacam que a estruturação espacial se
inicia, desde muito cedo, pela constituição de um sistema de coordenadas
relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada egocêntrica, no sentido de que,
para se orientar, a criança é incapaz de considerar qualquer outro elemento,
que não o seu próprio corpo, como ponto de referência. Aos poucos, ela toma
consciência de que os diferentes aspectos sob os quais os objetos se apresentam
para ela são perfis de uma mesma coisa, ou seja, ela gradualmente toma
consciência dos movimentos de seu próprio corpo, de seu deslocamento.
Essa capacidade de
deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço de diferentes pontos de vista
são condições necessárias à coordenação espacial e nesse processo está a origem
das noções de direção, sentido, distância, ângulo e muitas outras essenciais à
construção do pensamento geométrico.
Num primeiro
momento, o espaço se apresenta para a criança de forma essencialmente prática:
ela constrói suas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e dos
movimentos.
Esse espaço
percebido pela criança — espaço perceptivo, em que o conhecimento
dos objetos resulta de um contato direto com eles — lhe possibilitará a
construção de um espaço representativo — em que ela é, por exemplo, capaz de
evocar os objetos em sua ausência.
O ponto, a reta, o
quadrado não pertencem ao espaço perceptivo. Podem ser concebidos de maneira
ideal, mas rigorosamente não fazem parte desse espaço sensível. Pode-se então
dizer que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico
— dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos.
A questão que se
pode levantar, então, é: como passar de um espaço a outro?
É multiplicando
suas experiências sobre os objetos do espaço em que vive que a criança
aprenderá a construir uma rede de conhecimentos relativos à localização, à
orientação, que lhe permitirá penetrar no domínio da representação dos objetos
e, assim, distanciar-se do espaço sensorial ou físico. É o aspecto experimental
que colocará em relação esses dois espaços: o sensível e o geométrico. De um
lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que se passa no
espaço sensível, e, de outro, possibilita o trabalho sobre as representações
dos objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos
objetos reais para raciocinar sobre representações mentais.
A localização é
apontada como um fator fundamental de apreensão do espaço e está ligada
inicialmente à necessidade de levar em conta a orientação. Para orientar-se no
espaço é preciso começar por se orientar a partir de seu próprio corpo. O
conhecimento do corpo procede do conhecimento do espaço e, ao mesmo tempo, o
torna possível.
No primeiro ciclo,
é fundamental propor atividades para que o aluno seja estimulado a progredir na
capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, para efeito de
localização.
Isso pode ser feito
por meio de atividades em que o aluno se situe no espaço, desloque-se nele, dê
e receba instruções de localização, compreenda e utilize termos como esquerda,
direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente,
atrás, perto.
Outro trabalho rico
que deve ser explorado é o de construção de itinerários, a partir de instruções
dadas. É interessante que os alunos relatem oralmente como é o trajeto do lugar
onde moram até a escola, desenhem o itinerário que fazem, sempre dando pontos
de referência.
No segundo ciclo, o
trabalho de localização pode ser aprofundado por meio de atividades que mostram
a possibilidade de utilizarem-se malhas, diagramas, tabelas e mapas.
O estudo do espaço
na escola pode ser feito a partir de atividades que tenham a ver com outras
áreas, como a Geografia, a Astronomia, a Educação Física e a Arte.
Com relação às formas,
experiências mostram que as crianças discriminam algumas formas geométricas bem
mais cedo do que as reproduzem.
O pensamento
geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as crianças conhecem o
espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras geométricas são
reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade, e
não por suas partes ou propriedades.
Por meio da
observação e experimentação elas começam a discernir as características de uma
figura, e a usar as propriedades para conceituar classes de formas.
Os objetos que
povoam o espaço são a fonte principal do trabalho de exploração das formas.
O aluno deve ser
incentivado, por exemplo, a identificar posições relativas dos objetos, a
reconhecer no seu entorno e nos objetos que nele se encontram formas distintas,
tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, a fazer construções,
modelos ou desenhos do espaço (de diferentes pontos de vista) e descrevê-los.
Um trabalho
constante de observação e construção das formas é que levará o aluno a perceber
semelhanças e diferenças entre elas. Para tanto, diferentes atividades podem
ser realizadas: compor e decompor figuras, perceber a simetria como
característica de algumas figuras e não de outras, etc.
Dessa exploração resultará
o reconhecimento de figuras tridimensionais (como cubos, paralelepípedos,
esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc.) e bidimensionais (como quadrados,
retângulos, círculos, triângulos, pentágonos, etc.) e a identificação de suas
propriedades.
Uma das
possibilidades mais fascinantes do ensino de Geometria consiste em levar o
aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza e em
criações do homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele possa
explorar formas como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de
aranha, ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda
em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.
As atividades
geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos de
estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades
métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida. Isso pode
ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes,
espelhos, empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa.
Construir maquetes
e descrever o que nelas está sendo representado é também uma atividade muito
importante, especialmente no sentido de dar ao professor uma visão do domínio
geométrico de seus alunos.
O uso de
alguns softwares disponíveis também é uma forma de levar o
aluno a raciocinar geometricamente.
Leitura complementar:
A REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO NA CRIANÇA,
SEGUNDO PIAGET: OS PROCESSOS MENTAIS QUE A CONDUZEM À FORMAÇÃO DA NOÇÃO DO
ESPAÇO EUCLIDIANO
Rafael Montoito
José Carlos Pinto Leivas
RESUMO
O texto que se
segue, de abordagem piagetiana, tem por objetivo discutir como se dá a
representação do espaço na criança e as principais características das relações
que compõem este processo: as relações topológicas, projetivas e euclidianas.
Consiste de uma pesquisa bibliográfica ao se concentrar em textos relacionados
aos estudos de Piaget, seus colaboradores e seguidores. Visando melhorar o
ensino de geometria (principalmente na pré-escola e nas séries iniciais), propomo-nos
a recapitular e ilustrar alguns conceitos da teoria de Piaget, os quais servirão
para elucidar ainda mais cada uma das citadas relações, e discutir algumas
atividades que podem ajudar na construção do pensamento matemático, no que
tange à geometria.
Disponível em https://periodicos.ufn.edu.br/index.php/VIDYA/article/viewFile/271/247
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